제 I 편 지오지브라 소개와 설치 1
제 1 장 지오지브라 3
1.1 지오지브라 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 지오지브라의 역사 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 지오지브라의 설치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 설치파일 다운로드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 윈도우즈 앱 설치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 안드로이드 앱 설치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 설치오류 해결방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 지오지브라의 실행화면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 실행화면 설계의 기본 원리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 지오지브라 클래식 5의 실행화면 . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 지오지브라 웹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 그래픽 계산기 시작 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 교실 학습 자료 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

제 II 편 3차원 기하창, 도구, 명령어 25
제 2 장 3차원 기하창과 도구 27
2.1 3차원 기하창 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 3차원 기하창 스타일바 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 3차원 공간에 점 만들기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 곡면에 점 만들기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 기하창 이동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.5 마우스 오른쪽 클릭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 원 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 평면 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 기둥과 뿔 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4 구 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.5 시점 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
제 3 장 3차원 기하 명령어 45
3.1 점과 벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 벡터 명령과 벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 내적 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.4 외적 명령 (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.5 단위벡터 명령 (CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 직선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 직선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 반직선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 선분 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 곡선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 원 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 곡선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.3 교선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.4 수직선 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 평면 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 평면 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 수직평면 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.3 이등분평면 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 곡면 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.1 구 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.2 곡면 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 기둥과 뿔 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.1 각기둥 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.2 원기둥 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.3 높이 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.4 부피 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.5 무한원기둥 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.6 다각뿔 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.7 무한원뿔 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7 정다면체 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7.1 정4면체 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7.2 정6면체 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7.3 정8면체 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.7.4 정12면체 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7.5 정20면체 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7.6 전개도 명령 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

제 III 편 지오지브라와 3차원 수학 85
제 4 장 공간도형과 공간벡터 87
4.1 공간도형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 공간벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
제 5 장 곡선과 곡면 109
5.1 곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 곡면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
제 6 장 적분 123
6.1 구분구적법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 회전체 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
제 7 장 다변수 함수 135
7.1 다변수 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
제 8 장 라그랑즈 승수법의 시각화 147
8.1 Polya의 접하는 등위선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 라그랑즈 승수법의 시각화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
제 9 장 정사영 155
9.1 정사영 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2 정사영 예제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

제 IV 편 지오지브라와 3차원 그림 161
제 10 장 자료 작성 163
10.1 3차원 기하창 내보내기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2 설정사항 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
제 11 장 L A T E X 사용자를 위한 3D 그림 작성 167
11.1 3차원 도형을 그리기 위한 환경 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.1.1 정사면체 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.1.2 곡면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.2 L A T E X 코드로 내보내기 메뉴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.2.1 기하창을 PGF/TikZ로 저장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.2.2 기하창을 비머 (Beamer)용 코드로 내보내기 . . . . . . . . . . 170

제 V 편 지오지브라와 실제 세계와의 만남 173
제 12 장 지오지브라와 3D 프린팅 175
12.1 들어가면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2 지오지브라로 3D 프린터 출력하기 위한 방법 . . . . . . . . . . . . . 176
12.3 3D 프린터의 최소 사양 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.4 3D 프린팅 지오지브라 그룹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.5 지오지브라 로고를 3D 프린팅하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.6 마치면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.7 추가 자료: 구분구적법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.8 추가 자료: 클라인병 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
제 13 장 지오지브라와 건축 설계 189 13.1 시작하면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 189
13.2 건물 설계하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
13.3 지오지브라에서 설계된 건물을 3D 출력하기 . . . . . . . . . . . . . . 193
13.4 마치면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
제 14 장 지오지브라 3차원과 증강현실 197
14.1 들어가면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
14.2 지오지브라 스마트폰 앱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.3 지오지브라 3차원 앱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
14.4 증강현실을 적용해 보자! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
14.5 마치면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
14.6 참고자료: Tim Brzezinski의 AR 자료 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
14.7 참고자료: 애너글리프(Anaglyph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
제 15 장 지오지브라와 커팅 프린터 207
15.1 커팅 프린터를 활용한 3차원 대상 제작 . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.2 지오지브라를 이용한 도형의 작도와 설계 . . . . . . . . . . . . . . . 209
15.3 지오지브라 도형을 커팅 도안으로 변환하기 . . . . . . . . . . . . . . 212
15.4 마치면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
제 16 장 지오지브라와 4D프레임 217
16.1 들어가면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
16.2 지오지브라로 토러스 (torus) 설계하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
16.3 4D프레임으로 토러스 구현하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16.4 마치면서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

제 VI 편 부록 227
제 17 장 한국지오지브라연구소 229 17.1 설립 목적 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.2 학회와 연수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.3 온라인 지원 활동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
제 18 장 단축키 235 18.1 단축키 배열 (키보드) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
18.2 Alt 키를 사용한 단축키 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
18.3 Ctrl 키를 사용한 단축키 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
18.4 기능 키에 대한 예약 기능 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
찾아보기 241

2001년에 마르쿠스 호헨바터 교수 1 에 의해 지오지브라가 개발되고 유럽과 미국을 중심으로 지오지브라의 사용자가 늘어나게 되었으나 2008년까지 지오지브라는 우리말로 번역되지 않은 채 남아 있었다. 2008년에 지오지브라가 우리말로 번역된 이후 지오지브라는 수학 교육에서 활발하게 사용되기 시작하였고 점차 과학, 정보, 융합 (STEAM) 교육에서 활용 하려는 시도가 나타났다.

지오지브라의 가장 큰 특징을 한 단어로 말하면 Free라고 할 수 있다. 영어로 Free 는 자유로운이라는 뜻과 무료의라는 뜻을 갖고 있는데 이 단어의 뜻과 같이 지오지브라는 수학과 과학을 탐구하기 위해 누구나 자유롭게 사용할 수 있으며 이를 위해 무료로 제공된 다. 그러한 의미에서 마르쿠스 호헨바터 교수는 지오지브라의 라이선스를 오픈소스 자유 소프트웨어로 하였다. 2

지오지브라의 또 하나의 특징으로 Easy-to-use를 들 수 있다. 지오지브라는 인터페 이스가 간결하고 수학에서의 수식을 그대로 입력할 수 있으며 모든 명령어가 우리말로 되어 있어 3 지오지브라를 처음 접한 사용자라도 사용법을 쉽게 배울 수 있다. 또한 지오 지브라에는 다양한 수학 영역 4 을 탐구할 수 있는 기능 5 이 내장되어 있어 이 소프트웨어를 익히면 다양한 수학 및 과학 과제를 탐구할 수 있다.

이 책은 지오지브라와 3D 관련 내용을 최대한 연결지으려고 노력한 실험적 요소를 담고 있는 책이라고 볼 수 있다. 이 책의 본 바탕은 ‘지오지브라와 3차원 기하 (지오북스)’ 로 그 내용과 함께 최근 이슈가 되고 있는 3D 프린팅, AR(증강현실), 커팅 프린터를 활용한 입체 조형물 제작 등의 내용을 최대한 다루고자 하였다.

사실 이 책에서 다루지 못한 내용이 매우 많음을 고백하지 않을 수 없다. 그러나 저자의 역량이 허락하는 한 지오지브라와 관련된 다양한 3D 내용을 담고자 최대한 노력하였다.

독자 여러분에게 지오지브라와 이 책이 지오지브라, 지오지브라 앱을 통해 수학과 현실을 서로 연결하는 새로운 혜안을 얻는데 도움이 되기를 바란다.