모호한 것을 명쾌하게, 복잡한 것을 단순하게!
수학적 세상 읽기의 즐거움을 만나다!

1853년 러시아의 남하에 오스만 제국과 동맹국들이 맞서 4년간 전쟁을 벌였다. 크림 전쟁이었다. 1854년 34세의 나이팅게일도 이 전쟁에 뛰어들었다. 야전병원의 간호 책임자가 된 것이다. 군 당국은 전투에만 신경을 쓸 뿐 부상자에는 무관심했다. 모두가 전쟁은 늘 죽음과 맞닿아 있는 곳이라고 생각했기에 개선은 이루어지지 않았다.
그러나 나이팅게일은 전시 상황을 다르게 봤다. ‘전쟁터가 사람을 죽인다’는 뻔한 생각에 속지 않았다. 세상에 참혹하지 않은 전쟁은 없다. 그러나 전투로 죽는 병사보다 전염병으로 죽는 병사의 숫자가 훨씬 많다면 그것은 분명히 문제였다. 나이팅게일은 노트와 펜으로 모든 숫자를 기록하며 데이터를 수집하고 분석했다. 입원과 퇴원, 사망자 수, 사망 원인 등. 전쟁과 사망자 수를 당연시여기며 현실을 외면하던 사람들에게 나이팅게일은 철저하게 숫자에 기반을 둔 데이터를 수집하여 병원에 ‘위생’ 개념을 도입한다. 사람들의 편견 어린 속삭임보다 숫자가 보여주는 흐름과 이야기에 귀를 기울였던 나이팅게일 덕분에 영국의 야전병원에서 사망한 병사의 수가 60%에서 2%까지 하락한다. 말 그대로 숫자에 속지 않고, 자신의 직관과 경험을 수로 쌓인 데이터와 연결할 수 있었던 나이팅게일로 인해 야전병원뿐 아니라 전 세계의 의료 시스템이 변하게 된 것이다.
한국에서 경영학을 공부하다 모스크바 국립대학에서 수리논리학으로 박사 학위를 받은 저자 박병하. 귀국 후 러시아와 부산의 영재 교육을 잇는 데 헌신하고, 유클리드의 《원론》을 강독하며 수학 교사들에게 수학을 가르치는 저자가 복잡한 세상을 꿰뚫는 수학적 사고의 힘을 보여주는 책 《속지 않고 살 수 있다》를 출간했다. 박병하 박사는 수학 개념의 발달사, 수학과 인문학의 교류, 수학 교육의 대안을 고민하며 성인을 위한 수학 인문 강의뿐만 아니라 수학 교사와 아이들을 위한 수학 캠프를 진행하며 수학이 갖는 다채로운 의미들을 한국 사회에 전달하고자 노력한 바 있다.
박병하 박사는 모스크바 대학에서 수학을 공부하기 전, 한국에서 경영학을 전공하며 ‘문과’로 살았다. 그렇기에 더욱 저자는 수학을 배우면서 상처받은 사람들의 마음, 수학이 재밌기보다 어렵게 느껴지는 현실을 누구보다 잘 알고 있다. 한국에 많은 수학 책들이 출간되었지만, 독자들의 눈높이를 이해하고 배려하는 책은 드물다. 복잡한 수학 이론 대신 현실에서 만날 수 있는 다양한 사례를 책 안으로 끌고 와 독자들이 한 번쯤 경험했을 법한 고민을 이 책에서 풀어낸다.
쇼핑몰 할인에 숨은 퍼센트가 어떤 의미를 갖고 있는지, 소개팅과 면접은 몇 번까지 보는 게 좋을지, 보통 사람이 나쁜 사람보다 더 위험한 이유 등, 현실을 살아가는 우리들에게 수학이 어떤 효용을 건네며, 그것이 우리 삶에 어떤 변화를 이끌어낼 수 있는지를 설명한다. 또한 속을 수밖에 없는 상황을 평균 개념을 통해 보여주고, 정치인과 기자들의 막말에서 벗어날 수 있는 힘을 수리논리의 기본기를 통해 펼쳐 보인다. 마지막으로 빅데이터와 인공지능 시대에 수학적 사고가 어떤 힘이 될 수 있는지를 알려준다. 현실을 수로, 수를 현실로 볼 수 있는 힘이 삶을 어디까지 변화시킬 수 있는지를 말해주는 이 책은 ‘속지 않고 살기’를 새해 다짐으로 삼은 독자들에게 지적 호기심과 수학적 세상 읽기의 즐거움을 선사할 것이다.

이게 정말 수학일까? 할인과 소개팅

《속지 않고 살 수 있다》가 기존의 수학교양서와 다른 점은 이 책이 다루는 ‘소재’에 있다. 100% 할인이 공짜가 되지 않는 이유, 소개팅을 얼마나 해야 하는지 등은 기존의 수학교양서에서 다루지 않는 낯선 이야기들이다. 잘 안다고 생각하지만, 정확히 알지 못하는 소재들을 통해 그 안에 놀라운 수학의 원리가 숨어 있음을 보여주는 방식은 독자들에게 흥미로운 지점이 될 것이다. 쇼핑몰에서는 마감 할인, 재고 처리라며 엄청난 폭의 할인을 말하지만 실제로 만나게 되는 가격은 다르다. 그런 상황에서 사람들은 계산을 더 해보지 않고 ‘할인을 했으니 저렴할 것’이라고 생각하며 물건을 구입한다. 박병하 박사는 당혹스러운 그 순간을 포착해 분모와 분자에 어떤 속임수를 쓰는지를 설명한다.
게다가 소개팅을 얼마나 할지, 집을 구매하기 위해 얼마나 많은 집을 볼지, 채용을 위해 될 때까지 면접을 봐야 하는지는 모두의 고민이다. ‘그냥 아주 많이!’라고 생각하려는 그 순간, 박병하 박사는 케플러부터 만들어진 ‘최적 중지 전략’을 설명하며 우리의 선택과 결정에 수학적 요소를 가미할 수 있음을 보여준다.
이게 정말 수학일까 싶은 요소들은 책 전체에 배치되어 있다. 금융 위기는 예측할 수 있다는 이야기를 벤포드의 법칙을 통해 설명하고, 착시와 착각에서 벗어나기 위해 수학이 얼마나 큰 역할을 하는지를 보여준다. 더 정확한 그림을 그리기 위해 화가들이 수학을 사랑한 이유, 한국 사회에서도 큰 이슈가 되고 있는 막말에 대한 수학적 고찰은 이제껏 만나지 못했던 신선한 경험이 될 것이다.
저자가 너무나 당연해 보이는 일상을 택한 진짜 이유는 따로 있다. 이 책에 언급되는 사례들은 언뜻 보면 일상이기 때문에 거짓이나 속임수가 스며들지 못할 것이라고 생각한다. 하지만 저자는 그 안에 우리가 갖는 ‘선입견’을 설명하고, 그것이 얼마나 허무맹랑한지를 밝힌 다음, 그 일상의 이면에 쉽게 속을 수 있도록 설치된 생각들을 보여준다. 특히 퍼센트 개념은 현실을 이해하는 데 큰 도움을 준다. 종종 기자들이 주가를 다룰 때 평소에는 3% 올랐다고 쓰다가 폭락에는 3조 원이 증발했다고 쓴다. 이렇게 취사 선택하는 기사를 보면 그것을 쓴 기자의 눈을 가만히 들여다볼 수 있어야 한다고 저자는 강조한다. 이렇듯 수학처럼 보이지 않는 것들에 담긴 수학을 통해, 일상과 속임수가 떼려야 뗄 수 없는 관계라는 사실을 알게 된다. 일상 속의 이야기들은 독자들을 흥미진진한 모험으로 이끈다. 저자 특유의 재치가 보태진 일상의 이야기들은 이 책의 재미를 배가시킨다.

수학을 넘어선 수학, 1미터와 지도 전쟁

앞서 생각하기도 전에 속게 되는 사례들을 다루면서, 동시에 이 책은 사람들이 좀더 정확하게 생각하게 된 조건들을 역사적 사실을 통해 설명한다.
유럽뿐만 아니라 전 세계를 변화시켰던 프랑스 혁명은 단순히 구체제가 몰락하고, 공화정이 탄생했다는 데 있지 않다. 수학적으로도 프랑스 혁명은 의미 있는 변화를 만들어냈다. 당시 나라마다 직업마다 지역마다 측정 단위가 달랐다. 프랑스 혁명은 서로 다른 길이 체계를 사용하던 낡은 관행을 철폐하고, 단일한 단위 길이를 정한다. 우리가 익히 아는 ‘1미터’라는 단위는 수처럼 길이에 대해서도 공통 언어를 갖자는 노력이다. 1미터라는 공통 언어를 갖기 위해 6년간 원정을 떠난 프랑스 사람들이 사용한 수학은 ‘삼각함수’였다. 세계사를 보면 집권한 모든 정부는 도량형 통일을 제1과제로 삼는다. 그 이유는 도량형이 난립할 때 그만큼 혼란을 불러오고, 또한 잘 해결된다면 안정을 가져올 수도 있다는 의미이기도 하다. 1미터라는 전 세계의 기준을 만드는 데 사용된 삼각함수는 그야말로 혼란스러운 세상을 위기에서 구한 것이라 볼 수 있다.
수학은 세상을 구하기도 했지만, 총성 없는 전쟁을 불러오기도 했다. 1600년대 전쟁이 잦은 유럽에서 지도의 필요성이 대두되면서 다양한 수학이 사용되었고, 1800년대가 들어서자 유럽의 나라들은 자신들만의 지도를 갖게 된다.
지도의 가장 큰 문제는 왜곡이다. 둥근 지구를 평면에 나타내려면 어쩔 수 없이 왜곡이 발생할 수밖에 없다. 적도 지방에 해당하는 중간 부분은 원래 직사각형에 가까웠으니 왜곡이 적지만 북쪽과 남쪽의 위아래 끝 근방은 원래 위도의 길이보다 많이 늘어난다. 남극이나 북극에 가까운 국가들은 땅이 더 넓어 보이게 되는 것이다.
물론 이런 과장을 반기는 사람들이 있다. 한때 소련은 메르카토르 지도를 보여주며 자국민에게 대국의 위용을 자랑했고, 반공주의가 투철했던 미국의 국가 기관은 메르카토르 지도를 전시하며 “이렇게 큰 공산주의 국가가 우리를 위협하고 있다. 미국인들이여, 경계하라. 힘을 하나로 모으자”고 홍보했다. 냉전은 정치 체제의 문제가 아니라 지도를 통해서도 진행되고 있었다. 이후 ‘메르카토르 지도’가 유럽 중심주의라고 비판하며, 제3세계에서도 자신만의 지도를 발행한다. 원을 평면으로 옮기며 일어난 왜곡 문제가 지도 전쟁까지 연결된 것이다.
또한 이 책은 1미터와 지도 전쟁을 통해 삼각함수와 비례라는 수학을 넘어 현대 GPS가 어떻게 만들어지는지를 보여준다. 위성들의 좌표와 시간을 계산하여 사람들에게 알려주는 GPS는 과연 새로운 수학이 반영된 지도라 할 수 있다. 그러나 저자는 새로운 기술로 만들어진 구글어스와 구글맵은 이전 지도가 극복하지 못했던 왜곡의 문제를 해결하고 ‘있는 그대로’의 세계를 보여주는 것인지를 반문한다. 지도는 태생적으로 왜곡 문제가 남아 있으며, 각자의 상황에 따라 정보를 선택해서 보여주기 때문이다. 저자는 삼각함수와 비례법, 현대 GPS 기술을 설명하며 지도를 따라가되, 이 지도가 제시하는 정보와 드러나지 않는 내용을 함께 생각할 수 있어야 한다고 말한다. 수학의 알고리즘은 중립적이라고 느껴지지만, 누가 어떻게 활용하는지에 따라 수많은 통계와 정보는 때로는 한 인간을 좁은 시야 안에 가둘 수도 있기 때문이다.

수학도 사람을 속인다?, 보통 사람이 위험한 이유

수학을 알면 확실히 ‘속지 않고 살 수 있다’. 수학은 전 세계 사람들이 수를 통해 생각하게 만들고, 소통하게 해주는 언어이기도 하다. 냉정하고 차가운 언어라 수학만 알면 모든 일이 해결될 것 같지만, 때로 사람을 속일 때도 있다. 그래서 저자는 수학을 제대로 알아야 한다고 말한다.
사람에게 평균을 들이댄 혁명은 19세기 초반에 일어났다. 이 시기는 측량과 측정과 수치들이 비처럼 쏟아지던 시기다. 그런데 모아놓은 데이터 앞에서 사람들은 어리둥절했다. 출생아 수, 범죄자 수, 신체 치수 같은 인간과 연관된 측정 자료는 어떻게 써야 할지 막막했다. 돌파구가 필요했다. 바로 그때 ‘평균 인간’이라는 개념이 나온다.
처음에는 영국 군인의 키의 평균을 내고 프랑스 군인의 키의 평균을 내어 비교하는 정도였다. 그러다가 몸무게, 팔 길이, 가슴둘레, 나이 등등 온갖 요소에 대해 평균들을 구하고 다시 그것들을 결합하면서 평균 군인이라는 관념이 만들어지게 된다. 실제로 미국 남북전쟁 당시 링컨 대통령은 북군에 유사 이래 없던 대규모 조사를 실시하여 군대 표준을 마련했고, 북군은 전쟁에서 승리했다. 이 표준은 이후 미국 군대 체계의 초석이 되며 이후 세계의 기준으로 퍼져나간다. 평균 인간은 거대한 통제 체제에 필수 개념이었다.
평균 인간의 등장 이후 지난 150년 동안 그리고 우리가 살아가는 오늘도 평균 인간이라는 유령이 떠돌고 있다. 매스컴에서 평균 연봉, 평균 소비, 평균 싸움 횟수, 평균 연애 횟수, 평균 성적을 전파할 때 우리도 모르게 그것을 표준이나 이상으로 삼는 것은 아닐까? 그래서 엄연히 실재하는 나 자신보다 내 안에 웅크린 평균 인간을 먼저 생각하게 되는, 주객이 전도된 상황이 벌어진 것은 아닐까?
평균은 상황에 맞게 잘 찾아내야 한다. 그리고 그렇게 잘 찾은 평균이라도 분포를 잊지 않아야 한다. 평균은 수학적 개념이기에 개별 인간보다 앞선다는 생각이 바로 속임수다. 누군가 평균을 말할 때, 어떻게 나온 평균인지 물을 수 있어야 한다. 속지 않고 살 수 있는 힘은 어렵지 않다. 누군가 숫자를 건넬 때, ‘잠깐만요!’라고 외치는 것에서 시작한다. 잠시 멈춰 생각하는 힘이 수학적 사고의 기본이다.

이제껏 접하지 못했지만 너무나 유용한 분야, 수리논리학

바야흐로 막말의 시대다. 앞에 나서는 사람일수록 더 말을 조심해야 하는데 작금의 세상은 반대다. 정치인은 앞뒤 안 맞는 말을 하고 호통부터 친다. 언론인은 그러거나 말거나 식의 기사들을 써낸다. 헐뜯기, 거짓말, 속임수 등 막말의 스펙트럼은 넓고 전파 속도는 빠르다.
수학의 한 분야로 잘 알려져 있지만, 쉽게 만나지 못했던 수리논리학. 저자는 자신의 전공인 수리논리학의 기본기를 보여주며 막말의 위험성을 수학적으로 고찰한다. 저자에게 막말의 왕은 ‘일구이언(一口二言)’이다. 즉 한 입으로 두말하는 것, 논리 용어로 말하면 A라고 말해놓고 not A라고도 하는 것이다. 예를 들어 0\u003d0이라고 해놓고 0≠0라고도 말하는 경우다. 수학적 일구이언의 위험은 합리적인 전제들이 있더라도, 일구이언이 거기에 추가되면, 그 논리 체계는 어떤 명제든 증명할 수 있게 된다는 것이다. 그래서 세상의 모든 문장은 참이 된다. 0\u003d0(A)도 옳고, 0≠0(not A)도 옳다고 말한다면, 세상의 어떤 명제든 자동으로 증명할 수 있는 천하무적 기계가 된다.
저자가 막말의 왕으로 꼽은 ‘일구이언’은 수학의 세계를 붕괴시킨다. 일구이언은 참과 거짓의 경계를 지운다. 아예 말끔하게 지운다. 그러면 모든 것은 참이다. 참과 거짓을 지워버리면 세상은 아무 말이나 옳다고 떠드는 사람들로 채워질 것이다. 속임수와 거짓이 진실과 구분 없이 쓰인다면 말이 있을 필요가 사라진다. 그러면 세상에는 힘만 남게 된다. 힘으로 밀어붙이면 뭐든 되는 세상이 되는 것이다. 일구이언의 문장은 말을 사라지게 한다. 말의 세상을 붕괴시키고, 힘으로 다투는 원시 시대로 되돌아가게 만든다.
막말에 대한 수학적 고찰은 이 책에서 가장 흥미로운 부분이다. 또한 어렵게 느껴지는 수리논리학이 어떻게 구성되어 있는지를 보여주는, 이 책만의 특징이 강렬하게 살아 있는 부분이다. 공리들이 수학적 체계를 구축해가는 과정과 루트를 둘러싼 검사와 변호사의 팽팽한 변론은 수식이 없는 수학이 얼마나 재미날 수 있는지를 보여준다. 저자가 남겨준 수수께끼를 해결하며 독자들은 수리논리학에 한층 더 다가갈 수 있다.

익숙한 일상에 도전하고, 수학적 사고의 힘을 보여준다!

《속지 않고 살 수 있다》가 보여주는 수학의 세계는 놀라울 정도로 다채롭다. 솔로몬 왕을 시험한 사바의 여왕 이야기(우연을 확실성으로 만드는 방법), 수학에서 근삿값이 주는 선물, 인공지능 시대의 생존법까지. 게다가 미국에서 복권 당첨률을 높이기 위해 MIT 대학원생과 수학을 좋아하는 제럴드가 활용한 전략은 수학을 알면 속지 않는 정도가 아니라 내 삶을 더 풍요롭게 만들 수도 있다는 사실을 알려준다.
수학적 개념들을 바로 설명하는 것이 아니라 일상의 예시들을 통해 접근해가는 방법은 수학공포증에 시달리는 독자들에게 적절한 치료약으로 기능할 것이다. 세상은 정교한 수식과 공리로만 진행되지 않는다. 하지만 우리의 모든 일상에는 적당한 수식과 공리가 담겨 있다. 세상은 복잡하고, 자신이 감추고 있는 사실을 쉽게 드러내려 하지 않는다. 바로 그 순간, 수학이 필요하다. 근거 없는 선입견을 걷어내고, 마주한 현실을 투명하게 볼 수 있는 힘. 또 그 힘을 길러 세상을 더 넓은 시선으로 보기 위해 우리는 수학을 알아야 한다.
수식을 최대한 걷어내고 재미난 사례를 앞세워 수학으로 이끄는 이 책은 독자들에게 자연스럽게 수학적 사고를 심어줄 것이다. 아직 수학이 건네는 재미난 세계를 접해보지 않은 독자들이라면 더더욱 만족스러운 경험을 얻게 될 것이다. 이성의 빛은 차갑지만, 그것을 이해하는 사람에겐 더할 나위 없이 따스하다. 이제 수학이 전하는 온기를 경험할 시간이다.

P. 24 할인 폭탄의 순간에 처음부터 ‘잠깐만요, 생각 좀 해봅시다’라며 끊어내는 것도 평소에 연습이 필요하다. 권투 훈련 가운데 샌드백을 치는 훈련만 있는 게 아니라 복근 강화 훈련도 있듯이 나도 모르는 할인에 당하기 전에 피할 수 있도록 연습을 해야 한다. 바로 사용할 수 있는 즉효 방법이 있고, 평소에 맷집을 키우는 방법이 있다. 즉효 방법은 ‘잠깐만요’라고 외치며 생각할 시간을 갖는 것이고, 평소에 맷집을 키우는 방법은 이성의 강화다. 

P. 52 케플러는 어떻게 되었을까? 11명 중 다섯 번째 사람을 골랐다. 11명의 37% 정도는 4명이다. 따라서 우리의 최적 중지 전략에 따르면 4명까지는 만나보기만 하고, 그 이후에 더 마음에 드는 사람을 선택해야 한다. 정말로 케플러는 4명은 그냥 지나갔다. 다섯 번째로 만난 사람이 그 4명보다 나았던 것일까? 아니 이런, 케플러가 400년 전에 이미 최적 중지 전략을 썼다는 말인가? 케플러는 시대의 중력마저도 뛰어넘은 천재였단 말인가? 

P. 109 우연이 작용하는 가운데에도 유리함과 불리함이 있다는 것까지 깨달으면 이제 문명인이자 어른으로 다 자란 셈이다. 거기서 한발 전진하면 ‘똑똑한’ 문명인이 된다. 일어날 일이 무엇인지 정하고 그 일이 얼마나 일어날지 생각해보는 게 출발이다.

P. 160 근사할 수 있는 알고리즘이 있다는 것은 같은 행위를 반복하면 어쨌든 참을 향해 다가간다는 말이다. 별것 아닌 것 같아도 이 말은 의미가 있다. 비슷하지만 가짜, 즉 사이비似而非라도 체계적으로 진짜를 향해 다가가면 언젠가 진짜와 구분이 가지 않는 지경에 이른다는 의미, 다시 말해 근사의 미덕을 의미한다. 옛날 사람들은 성인을 이상으로 삼고 그 진짜에 근사하기 위해 평생 자신을 닦는 것을 올바르게 사는 길로 알았다. 서양의 플라톤은 50대에 이상적인 정치 체제를 생각했지만 현실은 이상에 미칠 수 없다는 사실을 잘 알았다. 그러나 포기하지 않았다. 이상에 가까운 체제를 어떻게 이룰 것인지를 찾는 데 평생을 바쳤다. 진짜에 도달하려는 끝없는 노력, 근사近似. 참으로 근사하다. 

P. 250 작은 도둑은 보여도 큰 도둑은 잘 안 보이듯 작은 속임수보다 큰 속임수가 알아채기 더 어렵다. 지금 우리의 지도가 인류 역사에서 누구도 경험하지 못한 거대한 속임수로 드러날 가능성, 나의 한 걸음이 나도 모르게 그 속임수에 일조할 가능성, 지도를 만든 사람들의 오랜 숙원인 ‘따라만 오세요’가 거의 구현된 시대에 ‘그렇게 모든 것은 행복하게 끝이 났습니다’가 아닐 가능성 앞에서 우리는 무엇을 할 수 있을까? 

들어가며 수학, 속임수를 만나다
1장 100% 할인이라도 공짜가 아닌 까닭: 퍼센트의 속임수
2장 소개팅은 얼마나 해야 할까: 인연을 만나기 위한 ‘최적 중지 전략’
3장 내가 산 로또는 왜 만날 ‘꽝’인 걸까: 도박과 기댓값 사이
4장 금융 위기를 막을 수 있었다?: 벤포드의 법칙
5장 ‘우연’에도 등급이 있다: 불확실성을 다스리는 확률과 통계
6장 ‘고작’과 ‘무려’ 사이: 착시와 착각의 함정에서 벗어나기
7장 근사한 가짜가 준 선물: 근삿값의 미덕
8장 프랑스 원정대와 현대의 GPS: 세상을 구한 삼각함수
9장 화가가 사랑한 수학: 비례법, 2D를 3D 세상으로 이끌다
10장 ‘보통 사람’이 ‘나쁜 사람’보다 위험하다?: 평균의 함정
11장 러시아는 생각보다 작다: 지도 전쟁
12장 ‘막말’에 대한 수학적 고찰: 수리논리의 힘
13장 곱셈만 알아도 충분하다?: 인공지능 시대의 생존법
나가며 여기까지 함께하신 독자에게 드리는 편지