수학적 아이디어의 보고
수학을 직관으로 표현하는 방법을 다룬 진정한 걸작!

▶ 내용 소개

현대 기하 교수법의 기초를 닦은 『기하학과 상상력』
이 책은 힐베르트가 은퇴하기 전 대학에서 3년간 강의한 내용을 그의 제자인 슈테판 콘-포센이 정리하여 펴낸 것이다. 원제목은 『Anschauliche Geometrie』로 우리말로 직역한다면 ‘직관 기하학’정도일 것이나 영역판의 제목인 『Geometry and the Imagination』을 차용했다.
힐베르트가 직관주의에 반하여 형식주의를 주창한 수학자로 알려져 있지만 이 책에서 볼 수 있는 직관과 상상력을 중시하는 그의 태도를 보면 마냥 형식주의자로 단정 지을 수만은 없을 것 같다. 힐베르트는 이 책을 통해 눈으로 보고 직관적으로 이해할 수 있는 기하의 많은 분야들을 접하고 기하학을 공부하는 사람들이 좀 더 쉽게 기하학에 접근할 수 있기를 바랐다. 여러 사람의 노력으로 다양한 이미지가 추가되었으며 다소 복잡하거나 상상하기 힘든 입체도 투영도를 그려 제시함으로써 각종 공리와 기하학적인 가정을 머릿속으로 상상해야 하는 어려움을 덜어 주었다. 현대 기하학에서 도형이나 실제 물체를 투영하는 그림이 빠지지 않는 것은 이와 같은 힐베르트의 노력이 있었기 때문이다.
독일 수학계는 괴팅겐을 중심으로 힐베르트 시대에 정점을 찍고 나치즘이 팽배함과 동시에 몰락의 길을 걸었다. 『기하학과 상상력』의 서지정보에도 이 안타까운 역사의 흔적이 남아 있다. 힐베르트의 제자로 공저자로서 이 책의 집필에 참여한 슈테판 콘-포센의 경우다. 콘-포센은 유태인으로 당시 독일은 나치즘으로 인해 유태인에게 어떠한 권한도 남기지 않았으므로 출간할 당시에는 공저자로 이름을 올리지 못하였다가 영역판이 번역되면서 그의 사후에야 공저자로 인정을 받았다.

20세기 수학사에 한 획을 그은 수학자 힐베르트
20세기 전반의 수학은 독일 수학계의 업적이 전부라고 해도 과언이 아니다. 당시 수학계는 확립되지 않은 공리들을 정리하는 작업과 위상수학, 집합론 등이 자리를 잡고 있었는데 힐베르트는 이 모든 분야에 영향을 끼치며 수학 철학의 한 사조를 확립했다.
힐베르트가 전성기에 남긴 업적은 함수론과 물리분야에서다. 힐베르트는 적분방정식론을 연구하면서 무한차원 공간에 대한 이해를 넓혔다. 오늘날 힐베르트 공간이라는 이름은 물리학자나 수학자 모두 피해갈 수 없는 용어가 됐을 정도다. 특히 이 공간에서의 스펙트럴 분해 이론에 업적을 남기는데, 바로 이 이론이 1925년 하이젠베르크와 슈뢰딩거의 양자역학의 기반을 이루게 된다. 한편 수리물리학의 중요한 방법론인 변분법도 힐베르트가 대단히 심혈을 기울인 주제로, 이 책의 4장을 중심으로 그런 모습이 자주 엿보인다. 쿠란트(Courant)가 저서 ‘수리물리학의 방법론’을 쓰며 힐베르트의 강의와 논문에서 인용한 것이 많고, 수학 연구와 교육에 결정적인 영향을 끼쳤다며 힐베르트를 공저자로 내세웠을 정도였으니 그 중요도가 어느 정도였는지 짐작할 수 있을 것이다.
독일 수학계는 괴팅겐을 중심으로 힐베르트 시대에 정점을 찍었다. 하지만 힐베르트 자신은 말년에는 전쟁의 소용돌이에 휩쓸려 사랑하던 수학계가 무너지는 것을 지켜봐야 했다. 훌륭한 연구자, 저술가이자 강연자였던 이 위대한 수학자의 장례식에 참석할 수 있었던 동료 연구자는 많지 않았다.

힐베르트가 골똘히 고민한 문제들은 무엇이었을까
『기하학과 상상력』은 힐베르트가 어떤 문제에 흥미를 느꼈는지도 살펴볼 수 있다. 특히 힐베르트도 ‘각 나라의 경계를 겹치지 않고 칠하는 데 몇 개의 색이 필요할까?’를 묻는 사색문제를 관심 있게 다루었다는 것이 흥미롭다.
또한 이 책은 기하학의 직관적인 표현에 관한 것뿐 아니라 대수학과 운동학 등 전반의 분야에서 기하학적인 직관이 어떻게 유용한 아이디어로 전환될 수 있는지를 아주 간단하게 보여준다. 예를 들면 단위격자를 생각한 뒤 필요할 경우 약간의 수론을 덧붙여 힘들이지 않고 라이프니츠 급수 를 유도해 내거나 삼차원 및 고차원에서의 격자에 대한 절에서는 유명한 케플러 문제를 포함한 공 쌓기 문제를 다루는 식이다.
금세기에 힐베르트와 콘-포센의 책이 미치는 영향은 아무리 과장해도 지나치지 않다. 가장 놀라운 장은 ‘사영 배치’에 대한 장으로, 힐베르트와 콘-포센은 간단한 도입절을 통해 어째서 기하학자들이 사영 기하에 관심을 가져야 하는지와 간단한 설정만으로 복잡한 구조를 설명하는 아이디어를 얻는 과정을 간결하고 명쾌하게 설명한다. 운동학에 대한 장은 연동장치와 연결되어 있어 어떤 면에서는 제한돼 있는 점 및 막대의 배치에 대한 기하학에 대한 멋진 논증을 담았다. 기하학에서 이 주제는 현대에, 특히 로봇 공학에서 점차 중요해지고 있다. 단순한 상황에 풍부한 기하학을 담는 또 다른 예이기도 하다.
『기하학과 상상력』은 출간된 지 반세기가 넘은 지금도 사람들에게 두루 읽히는 몇 안 되는 고전이다. 시간이 흘러도 여전히 새로운 이 책에는 수학을 잘 설명해 주는 명쾌하고 우아하기까지 한 아이디어가 넘친다. 수학 초보자와 전공자 모두가 이 아이디어의 보고에서 헤엄치며 기쁨을 만끽하길 바란다.

우리 독서계에 본격적으로 소개되는 수학사의 고전들
원저에 담긴 풍부한 영감을 그대로!

힐베르트와 콘-포센의 『기하학과 상상력』은 오일러의 『대수학 원론』에 이어 발간된 살림Math클래식 시리즈의 제2권이다. 수학의 역사야말로 문화와 사상의 역사를 이해하는 기초이자 토대가 된다는 이야기를 하면서도 정작 우리의 지식계에서는 수학사의 고전을 번역하는 일이 거의 전무했다. 그런 의미에서 살림Math클래식 시리즈는 우리의 출판 문화의 빈 곳을 채우는, 소중한 기획이 될 것이다.
앞으로 이어질 힐베르트의 『기하학의 기초』를 비롯해 대중들도 접근할 수 있는 수학사의 명저들을 소개하는 이 기획에 독자 여러분들의 따듯한 관심과 애정을 부탁드린다.

이 책의 목적은 기하학을 시각적이고 직관적으로 표현하는 것이다. 시각적 상상의 도움을 받아 다양체에 기하학적 사실 및 문제를 설명할 수 있는데, 많은 경우 개념을 엄밀하게 정의하거나 실제 계산에 자세히 들어가지 않고도 연구 및 증명 방법의 기하학적 윤곽을 집어낼 수 있다. 예를 들어, 구멍이 난 공은 ─ 아무리 구멍이 작다고 하더라도 ─ 구부릴 수 있다는 사실이나, 서로 다른 토러스 모양의 곡면을 서로의 위로 각을 보존하며 감쌀 수 없다는 사실을 해석학적 논증을 세세히 따르고 싶지 않은 사람에게도 왜 그리고 어떻게 증명하는지 감을 얻을 수는 있도록 다룰 수 있다.
-p.5

 

 

지금까지는 초곡선을 논의했는데, 이제 동일초곡선 가족 내에서 종류가 다른 두 곡면의 쌍이 만나 이루는 다른 곡선들을 생각할 때가 됐다. 나중에 논의하겠지만 이 곡선들은 미분기하학적으로 간단한 성질을 갖는다(258쪽을 참고). 이들은 처음으로 평면에 들어 있지 않은 곡선의 예를 제공한다. 일반 위치에 있는 임의의 두 이차곡면이 만나 생긴 곡선은 통째로 한 평면 속에 들어 있지 않는 한 임의의 평면과 다섯 점 이상에서 만날 수는 없다. 평면이 각 곡면과 만나면 두 개의 원뿔곡선을 이루는데 일치하지도 않고 직선 전체를 공유하지도 않는 두 원뿔곡선은 다섯 점 이상에서 만날 수 없다는 것을 ─ 이 정리는 직관적으로도 당연하다 ─ 해석학적으로 쉽게 증명할 수 있기 때문이다(221쪽을 참고).
-p.42

 

 

민코프스키(Minkowski)가 격자에 대해 성공적으로 증명한 정리는 단순함에도 불구하고, 다른 방법으로는 취급하지 못한 수론의 많은 문제를 해결했다. 명쾌하게 하기 위해 여기에서는 가장 일반적인 형태로는 이 정리를 기술하지 않고, 공식화하기 쉬우면서도 정리의 정수는 모두 담아 내는 특별한 경우로 한정하려고 한다. 정리는 다음과 같다.
한 변의 길이가 2인 정사각형을 그 중심이 격자점에 놓이도록 아무 평면 단위격자에 겹쳐 놓으면 정사각형의 내부나 경계에는 반드시 다른 격자점이 존재한다.
-p.69

 

 

진성운동에 반사변환을 더하기만 해도 자연계에서 발견되는 다양한 결정구조를 모두 얻는다. …… 기하학적 방법 대신 대수적 방법을 이용하여 대칭변환의 불연속군을 찾을 수도 있다. 평면에서 이 방법을 쓰면 복소수 사이에 놀라운 관계가 드러나며 공간에서는 초-복소수 체계에 기초한 방법이 된다.
현재의 논의를 고차원 공간으로 일반화하는 건 흥미로운 문제다. 고차원 공에서 대칭변환의 불연속군과 관련한 몇 가지 결과를 발견했고 임의의 차원의 공간에서 정다면체에 해당하는 도형들도 알고 있다. 고차원 도형은 다음 장에서 더 얘기한다. 더욱이 비버바흐(Bieberbach)는 모든 n에 대해 n차원 결정학적군은 유한개이며 이러한 군들은 각각 n개의 일차독립인 평행이동을 포함함을 증명했다.
-p.133

 

 

데자르그의 정리와 파스칼의 네 번째 정리가 여러 면에서 비슷함을 보았다. 두 정리 모두 삼차원 도형의 사영을 통해 증명했다. 두 정리 모두 배치를 주는 데 둘 다 정칙이며 자가쌍대이고 자만으로 작도할 수 있으며, 마지막 결합 조건을 자동적으로 만족하며 자가 내접 및 자가 외접하는 다각형으로 간주할 수 있어 상당히 비슷하다.
그럼에도 두 정리 사이에는 기본적인 차이가 있다. 데자르그 정리의 증명에서 이용한 공간도형은 다른 공리를 더하지 않고 공간에서의 결합성에 대한 공리만을 갖고 작도할 수 있었다. 반면 파스칼-브리앙숑 배치는 이차곡면을 공부해서 얻은 것이다. 물론 증명의 핵심은 공간 육각형에서 순전히 점·직선·평면 사이의 결합 관계를 고려하는 문제처럼 보이지만 면밀히 조사하면 그러한 육각형을 작도하는 것이 본질적으로는 이차 모선곡면을 작도하는 것과 동일함을 알 수 있는데, 그러한 작도의 가능성은 결합 공리만으로 증명할 수 없다.
-p.185~186

 

 

유클리드 평면기하의 공리로부터 시작하여 각 공리가 타원기하에서 유효한지 혹은 완화한 공리로 바꿔야 하는지 규명하기만 해도 타원기하가 유클리드 기하와 어떻게 관련돼 있는지를 완전히 이해할 수 있다. 이미 결합 공리와 (174쪽) 연속 공리를 (187, 188쪽) 언급했다. 유클리드 평면기하는 모두 다섯 종류의 공리군으로 ─ 결합 공리군, 순서 공리군, 합동 공리군, 평행선 공리, 연속 공리군 ─ 구성할 수 있다. 각 공리군은 몇 가지 기초 개념을 담고 있는데, 예를 들어 결합 공리는 점·직선·결합의 개념을 기초로 한다. 추가적인 개념 중에는 어떤 공리가 있어야 가능한 것이 있다. 예를 들어 선분이나 반직선의 개념은 순서 공리가 있어야만 가능하다. 선분의 개념은 합동 공리의 기초를 이루므로 합동 공리를 기술하려면 일정한 순서 공리를 미리 가정해야 한다.
-p.319~320

 

 

지금까지는 주로 공간에서‘고정된 ’사물을 공부했는데, 이러한 사물이 기하학 연구의 출발점을 이루기 때문이다. 하지만 기하학의 요소에도‘운동’의 개념을 이용한다. 강체운동으로 두 도형을 겹쳐 놓을 수 있으면 합동이다. 더욱이 움직일 수 있는 쌍곡면도 공부했으며(23쪽을 보라), 움직이는 평면을 통해 모선곡면도 판별했고(278쪽~279쪽), 곡면을 구부리거나 비틀기도 했다(제4장). 운동학은 운동을 조직적으로 연구한다.
먼저 운동학 중 기본적인 거리기하와 밀접하게 관련된 연동장치(連動裝置)부터 공부를 시작하겠다. 그 뒤 미분기하의 방법으로 더 일반적인 연속운동을 논의한다.
-p.363

 

 

인접영역 문제와 밀접하게 관련된 문제가 채색 문제다. 이 문제는 다음처럼 실질적인 지도 제작 문제로 표현할 수 있다. 곡면 위에 여러 개의 영역이 그려져 있다고 하자. 각 영역에 색을 칠하는데 곡선을 따라 서로 경계를 이루는 영역끼리는 다른 색으로 칠하기로 한다(두 영역이 고립점에서만 만나면 같은 색을 칠해도 좋다). 이런 규칙을 어기지 않으면서 곡면 위의 가능한 모든 분할에 대해 영역을 색칠하기에 충분한 색깔의 최소 개수를 찾는 문제다.