일찍이 없었던 수학 교양서
무리수는 무엇인가
국내 대표 수학교육 전문가 박영훈 선생님의?‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 기획물이다. 요리책 레시피 수준의 학교수학, 창의성을 상실한 내비게이션 수학을 넘어 새로운 수학의 패러다임을 10권으로 구성된 야심찬 프로젝트 속에 담아낼 것이다.
우리는 12년 동안 학교에서 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간 동안 엄청난 노력을 기울이건만 숱한 학생들이 수포자가 되고 만다. 어려운 문제를 척척 풀던 아이들이 어느 순...
일찍이 없었던 수학 교양서
무리수는 무엇인가
국내 대표 수학교육 전문가 박영훈 선생님의?‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 기획물이다. 요리책 레시피 수준의 학교수학, 창의성을 상실한 내비게이션 수학을 넘어 새로운 수학의 패러다임을 10권으로 구성된 야심찬 프로젝트 속에 담아낼 것이다.
우리는 12년 동안 학교에서 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간 동안 엄청난 노력을 기울이건만 숱한 학생들이 수포자가 되고 만다. 어려운 문제를 척척 풀던 아이들이 어느 순간 좌절하게 되고, 수학을 잘해 대학 수학과에 진학한 학생들도 대부분 수포자의 길을 간다. 왜 그럴까? 문제풀이 요령만 죽어라 외웠기 때문이다.
저자는 길을 몰라도 목적지로 데려다주는 내비게이션을 닮았다 하여 이를 ‘네비게이션 수학’이라고 부른다. 수학은 교과서에 담겨 있는 공식이나 문제를 모아둔 것이 아니라 패턴을 발견하는 지적 활동이다. 시인 예이츠는 “교육은 양동이를 채우는 것이 아니라, 불을 지피는 일”이라고 말했다. 학생들이 스스로 사고할 수 있도록 이성의 불을 지펴주어야 하고, 머릿속에서 인류의 고귀한 지적 유산인 인지 지도가 개념화될 수 있어야 한다.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 초등학교에 갓 입학하며 배우는 아라비아 숫자와 간단한 곱셈구구에서부터 미적분과 확률에 이르는 수학의 궤적을 새로운 패러다임으로 되짚어가는 기획물이다. 수학 지식이 어떻게 만들어졌으며, 수학자가 어떤 패턴을 발견하여 그 지식을 창조했는지를 문명사적으로 풀어낸 장대한 이야기에 빠져들다 보면 저도 모르게 수학의 본질을 몸에 체득하게 될 것이다.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈의 둘째 권인 이 책의 주제는 무리수의 본질을 추적하는 내용이다. 도대체 무리수가 무엇이길래 고대 그리스 시대에 무리수를 둘러싸고 집단살인이 발생한 것일까? 그것도 그 유명한 피타고라스학파의 내부에서. 추리소설을 읽듯 흥미진진하게 고대 그리스인들의 수 개념과 자연수에 집착했던 피타고라스학파의 세계를 들여다볼 수 있다. 자연스럽게 유리수와 제곱근이 무엇인지 그리고 수학에서 증명이 무엇인지 그 실체를 이해할 수 있게 된다. 또다른 무리수인 원주율과 황금비에 대한 이야기, 그리고 A4용지 같은 실생활에 적용된 무리수의 사례를 통해 무리수가 교과서 속에만 존재하는 게 아님을 알 수 있으며, 우리가 사용하는 수 체계에 대한 높은 이해에 이르게 될 것이다.

잃어버린 수학을 찾아서
12년 동안 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간과 많은 노력을 들여 고생했건만, 그 내용이 실제 수학이라는 학문의 본질과는 거리가 멀다는 사실을 깨닫게 된다면 정말 허탈할 것이다. 하지만 사실이다. 일반인에게는 잘 알려져 있지 않지만, 대학의 수학과에서도 적지 않은 수포자가 나온다. 그들은 고등학교 때까지 수학을 잘한다고 부러움을 사던 학생들이다. 학문으로서의 수학이 그전까지 배운 수학과 너무 달라서 끝내 좌절하고 만 것이다.
문제는 학교 수학에 있다. 학교에서 가르치고 배우는 수학 지식의 대부분은 2천년 이전의 것으로 고리타분 그 자체이다. 새로운 내용은 미적분과 확률 정도인데, 그마저도 3,4백 년 전의 것이다. 음악으로 치면 고대 바빌로니아의 음악이나 기껏 비발디나 헨델 시대의 바로크 음악에 머무는 셈이다. 모차르트나 베토벤의 음악조차 만나지 못하는 것과 진배없다.
반드시 새로운 것을 가르쳐야 한다고 주장하는 것은 아니다. 비발디의 〈사계〉나 헨델의 〈오라토리오〉가 여전히 고전이듯이, 유클리드의 기하학과 8,9세기 아랍에서 유래한 대수학은 오늘날에도 유용하다. 문제는 이들 옛날 수학의 대부분이 회계나 토지 측량 같은 실용적인 필요에 의해 탄생했다는 점이다. 그래서 ‘이렇게 저렇게 따라 하면 답을 구할 수 있다’는 마치 요리책에 담긴 레시피를 알려주는 수준에 불과하다.
냉정하게 말하면 오늘의 학교 수학은 여전히 요리책 수준에 머물러 있다. 그러니 사람들이 수학 학습을 요리 레시피를 익히는 것쯤으로 인식하는 것은 지극히 당연하다. ‘이 공식에 대입하여 이렇게 식을 조작하면 답이 나온다’는 기계적인 문제 풀이를 수학이라고 생각하는 것이다. 그 결과 많은 시간을 들여 수학을 공부했건만 정작 수학이 무엇인지는 알지 못한다. 분수 계산은 할 수 있어도 분수가 유리수와 어떻게 다른지, 삼각형의 세 가지 합동조건은 줄줄 암송해도 그 의미가 무엇인지는 모른다. 나는 이를 ‘내비게이션 수학’이라고 규정한다. 내비게이션의 지시대로 운전해 정확하게 목적지에 도착했건만, 정작 어떤 길을 따라 운전했는지 알지 못하는 것과 같다.
물론 수학은 문제를 해결하는 학문이다. 표준적인 풀이 방식의 습득은 필요하다. 적용할 공식이나 따라야 할 절차를 찾아보는 것도 필요하다. 하지만 거기에 그쳐서는 안된다. 실제 수학
문제는 숫자를 대입하면 되는 공식이나 풀이가 유사한 문제를 찾아서 해결할 수 없는 경우가 더 많다.
문제가 무엇인지를 생각하는 것, 그것이 답이다. 누군가가 분류해놓은 문제의 유형에 주목하기보다는, 문제가 말하는 것이 무엇인지를 제대로 파악하고 생각해야 한다. 수학 지식의 의미를 파고드는 ‘수학적 사고’야말로 수학의 본질이고 핵심이다. 이제는 내비게이션 수학에서 탈피해야 할 때다. 내비게이션이 지시하는 대로 따라가다가 무심코 지나쳤던 길이 어떤 길이었
는지 되돌아볼 수 있어야 한다. 도중에 왜 마을이 들어섰는지도 잠시 살피고, 전망 좋은 곳에 들러 멋진 경치를 감상하는 여유도 만끽하자.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 초등학교에 갓 입학하며 배우는 아라비아 숫자와 간단한 곱셈구구에서부터 미적분과 확률에 이르는 수학의 궤적을 새로운 패러다임으로 되짚어가는 야
심 찬 기획물이다. 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 이 같은 시도는 국내에서는 물론 처음이거니와 해외에서도 사례를 찾기 어려울 것이다. 이 시리즈가 더 나은 가르침을 주고 싶은 교사들과 교과서 너머의 지식에 목말라 하는 학생들, 그리고 삶의 여정 속에서 수학 지식의 유용함을 믿는 신실한 이들에게 귀한 자양분이 되었으면 좋겠다. 부디 비틀스의 음악에서 베토벤의 선율을 발견할 수 있기를!
책머리에
중학교 수학 시간에 유리수와 무리수를 배운다. 교과서는 유리수를 정의한 다음 무리수는 단지 ‘유리수가 아닌 수’라고 기술하고 있을 뿐이다. 실제 무리수가 무엇인지 알려주지 않는다. 무리수의 본질에 접근하는 것이 이 책의 주제이다. 피타고라스의 제자였던 히파수스의 죽음을 배경으로 다음과 같은 순서로 구성하였다.
먼저 피타고라스가 살았던 고대 그리스인들의 수 개념을 들여다본다. 그들은 오늘날의 우리와는 달리 기하학적 관점에서 수를 바라보았다. 그 배경과 논리를 추적해가다 보면 유리수와 제곱근이 무엇인지 그리고 수학에서 증명이 무엇인지 실체가 떠오를 것이다. 이어서 피타고라스학파가 왜 수에 그토록 집착했는가를 밝힌다. 초등학교 학생은 물론이고 남녀노소 누구라도 읽을 수 있다.
이 책의 중심 주제인 무리수의 본질을 추적하는 내용이 뒤를 잇는다. 초반부는 초등학교 학생도 이해할 수 있지만, 중반을 넘어서면 중학교 3학년 수준의 이해도에 적합한 내용이다. 실생활에 적용된 무리수의 사례로서 우리에게 친숙한 A4용지를 살펴본다. 용지 제작과정이 수학적이어야 하는 이유를 통해 무리수가 교과서 속의 이야기만이 아님을 알 수 있다. 중학교에서 배우는 이차방정식을 풀 수 있다면 수학적 문제 해결이 무엇인지 이해할 수 있다. 또 하나의 무리수인 원주

 


"배신자를 물에 처넣어라."
배에 타고 있던 사람들이 성난 목소리로 외쳤다. 그들은 결박당한 사람을 에워싸고 있었다. 히파수스였다.
"아니오, 아닙니다. 나는 결코 배신자가 아닙니다."
무릎 꿇린 히파수스는 고개를 가로저으며 말했다. 이미 지칠 대로 지친 그의 목소리에는 힘이 들어 있지 않았다.
"히파수스, 너는 우리의 서약을 깨뜨렸으니 엄중한 벌을 받아 마땅하다."
무리 중의 우두머리가 꾸짖으며 말을 이어갔다.
"우리는 그것이 결코 수가 아니며, 수로 인정할 수 없다는 사실을 그토록 강조했다. 그럼에도 히파수스 너는 무엄하게도 계속 수라고 주장했을 뿐만 아니라, 다른 사람에게 발설하였다. 그러한 행동이 우리 피타고라스학파 전체의 존립을 위태롭게 한다는 사실을 너는 누구보다 잘 알고 있다. 도저히 용서할 수 없는 일이다.“
히파수스는 마지막 남은 기운을 모아 저항했다.
“제 입으로 수가 아니라 한들 무슨 소용이 있나요? 지금까지는 우리가 알 수 없어 그랬던 것이죠. 하지만 이제는 수로 인정해야 합니다. 그 사실은 결코 변함이..."
히파수스가 소신을 꺾지 않자 무리의 분노는 극에 달했다. 그의 말이 채 끝나기도 전에 사람들이 고함을 지르며 달려들었다. 그리고 그를 바다에 던져버렸다. 배신자는 이내 지중해의 푸른 물결 속으로 자취를 감추고 말았다. -15쪽

그후 백 년도 채 지나지 않아 무리수는 더 이상 비밀이 될 수 없었다. 단치히라는 작가는 ‘입 밖으로 낼 수 없던 것’이 어느덧 사람들의 입에서 입으로 공공연히 전달되었고, ‘생각할 수 없던 것’이 말이라는 옷을 걸치고 등장했으며, ‘드러낼 수 없던 것’이 문외한에게까지 그 모습을 드러냈다고 문학적으로 표현하였다. 이렇듯 인류는 금지된 지혜의 열매를 맛보게 되었고, 그래서 저주를 받아 삼라만상이 수의 지배를 받는다는 피타고라스의 낙원에서 추방되었다. -137쪽

하나의 무리수에 불과한 는 황금비율이라는 화려한 이름에 걸맞게 우리를 둘러싼 이 세계의 곳곳에서 자신의 모습을 드러낸다. 하다못해 한 알의 사과 속에서도 황금비율을 발견할 수 있다. 사과를 가로로 분할하면, 사과 씨들이 꼭짓점 5개의 별 모양을 하고 있는 모습이 보인다. 이를 펜타그램이라고 한다. 이 펜타그램의 꼭짓점을 이루는 5개의 이등변삼각형에서 긴 변과 짧은 변의 비가 황금비율 이다. -172쪽

프롤로그 : 집단살인을 부른 무리수
1. 도형에서 수를 생각하다
제대로 된 숫자도 없던 고대 그리스
기하학적으로 수를 접근하다
제곱근 기호와 그 의미
수학 공포증의 시초인 수학 기호
유리수는무엇인가
연역적 추론에 근거한 수학적 증명
우리 삶에 들어 있는 증명
2. 피타고라스는 왜 자연수에 집착하였을까
그리스 신화 속의 수학
신화에서 학문으로
피타고라스학파의 탄생
자연수에 집착한 피타고라스학파
3. 무리수를 인정하지 않은 진짜 이유
분수를 알고 있을까
분수는 무엇인가
유리수까지 수의 세계를 확장하다
유리수의 본질 : 공통 단위가 존재한다
음악도 자연수의 비로 나타낼 수 있다
직선 위 점의 개수를 세어본다
낙원에서 추방된 피타고라스
4. 무리수의 아름다움이 빛을 발하다
A4 용지에서 발견한 무리수
A4 용지 크기 결정이 수학 문제인가
동그라미에 들어 있는 무리수 π
에필로그 : 이름에 황금이 붙은 숫자

잃어버린 수학을 찾아서


12년 동안 수학을 배운다. 그렇게 긴 시간과 많은 노력을 들여 고생했건만, 그 내용이 실제 수학이라는 학문의 본질과는 거리가 멀다는 사실을 깨닫게 된다면 정말 허탈할 것이다. 하지만 사실이다. 일반인에게는 잘 알려져 있지 않지만, 대학의 수학과에서도 적지 않은 수포자가 나온다. 그들은 고등학교 때까지 수학을 잘한다고 부러움을 사던 학생들이다. 학문으로서의 수학이 그전까지 배운 수학과 너무 달라서 끝내 좌절하고 만 것이다.
문제는 학교 수학에 있다. 학교에서 가르치고 배우는 수학 지식의 대부분은 2천년 이전의 것으로 고리타분 그 자체이다. 새로운 내용은 미적분과 확률 정도인데, 그마저도 3,4백 년 전의 것이다. 음악으로 치면 고대 바빌로니아의 음악이나 기껏 비발디나 헨델 시대의 바로크 음악에 머무는 셈이다. 모차르트나 베토벤의 음악조차 만나지 못하는 것과 진배없다.
반드시 새로운 것을 가르쳐야 한다고 주장하는 것은 아니다. 비발디의 〈사계〉나 헨델의 〈오라토리오〉가 여전히 고전이듯이, 유클리드의 기하학과 8,9세기 아랍에서 유래한 대수학은 오늘날에도 유용하다. 문제는 이들 옛날 수학의 대부분이 회계나 토지 측량 같은 실용적인 필요에 의해 탄생했다는 점이다. 그래서 ‘이렇게 저렇게 따라 하면 답을 구할 수 있다’는 마치 요리책에 담긴 레시피를 알려주는 수준에 불과하다.
냉정하게 말하면 오늘의 학교 수학은 여전히 요리책 수준에 머물러 있다. 그러니 사람들이 수학 학습을 요리 레시피를 익히는 것쯤으로 인식하는 것은 지극히 당연하다. ‘이 공식에 대입하여 이렇게 식을 조작하면 답이 나온다’는 기계적인 문제 풀이를 수학이라고 생각하는 것이다. 그 결과 많은 시간을 들여 수학을 공부했건만 정작 수학이 무엇인지는 알지 못한다. 분수 계산은 할 수 있어도 분수가 유리수와 어떻게 다른지, 삼각형의 세 가지 합동조건은 줄줄 암송해도 그 의미가 무엇인지는 모른다. 나는 이를 ‘내비게이션 수학’이라고 규정한다. 내비게이션의 지시대로 운전해 정확하게 목적지에 도착했건만, 정작 어떤 길을 따라 운전했는지 알지 못하는 것과 같다.
물론 수학은 문제를 해결하는 학문이다. 표준적인 풀이 방식의 습득은 필요하다. 적용할 공식이나 따라야 할 절차를 찾아보는 것도 필요하다. 하지만 거기에 그쳐서는 안된다. 실제 수학
문제는 숫자를 대입하면 되는 공식이나 풀이가 유사한 문제를 찾아서 해결할 수 없는 경우가 더 많다.
문제가 무엇인지를 생각하는 것, 그것이 답이다. 누군가가 분류해놓은 문제의 유형에 주목하기보다는, 문제가 말하는 것이 무엇인지를 제대로 파악하고 생각해야 한다. 수학 지식의 의미를 파고드는 ‘수학적 사고’야말로 수학의 본질이고 핵심이다. 이제는 내비게이션 수학에서 탈피해야 할 때다. 내비게이션이 지시하는 대로 따라가다가 무심코 지나쳤던 길이 어떤 길이었
는지 되돌아볼 수 있어야 한다. 도중에 왜 마을이 들어섰는지도 잠시 살피고, 전망 좋은 곳에 들러 멋진 경치를 감상하는 여유도 만끽하자.
‘잃어버린 수학을 찾아서’ 시리즈는 초등학교에 갓 입학하며 배우는 아라비아 숫자와 간단한 곱셈구구에서부터 미적분과 확률에 이르는 수학의 궤적을 새로운 패러다임으로 되짚어가는 야
심 찬 기획물이다. 수학의 넓은 대지를 문명사적으로 종횡으로 누비며 수학의 본령에 다가가는 이 같은 시도는 국내에서는 물론 처음이거니와 해외에서도 사례를 찾기 어려울 것이다. 이 시리즈가 더 나은 가르침을 주고 싶은 교사들과 교과서 너머의 지식에 목말라 하는 학생들, 그리고 삶의 여정 속에서 수학 지식의 유용함을 믿는 신실한 이들에게 귀한 자양분이 되었으면 좋겠다. 부디 비틀스의 음악에서 베토벤의 선율을 발견할 수 있기를!



책머리에

중학교 수학 시간에 유리수와 무리수를 배운다. 교과서는 유리수를 정의한 다음 무리수는 단지 ‘유리수가 아닌 수’라고 기술하고 있을 뿐이다. 실제 무리수가 무엇인지 알려주지 않는다. 무리수의 본질에 접근하는 것이 이 책의 주제이다. 피타고라스의 제자였던 히파수스의 죽음을 배경으로 다음과 같은 순서로 구성하였다.
먼저 피타고라스가 살았던 고대 그리스인들의 수 개념을 들여다본다. 그들은 오늘날의 우리와는 달리 기하학적 관점에서 수를 바라보았다. 그 배경과 논리를 추적해가다 보면 유리수와 제곱근이 무엇인지 그리고 수학에서 증명이 무엇인지 실체가 떠오를 것이다. 이어서 피타고라스학파가 왜 수에 그토록 집착했는가를 밝힌다. 초등학교 학생은 물론이고 남녀노소 누구라도 읽을 수 있다.
이 책의 중심 주제인 무리수의 본질을 추적하는 내용이 뒤를 잇는다. 초반부는 초등학교 학생도 이해할 수 있지만, 중반을 넘어서면 중학교 3학년 수준의 이해도에 적합한 내용이다. 실생활에 적용된 무리수의 사례로서 우리에게 친숙한 A4용지를 살펴본다. 용지 제작과정이 수학적이어야 하는 이유를 통해 무리수가 교과서 속의 이야기만이 아님을 알 수 있다. 중학교에서 배우는 이차방정식을 풀 수 있다면 수학적 문제 해결이 무엇인지 이해할 수 있다. 또 하나의 무리수인 원주율의 근삿값을 고대 이집트인들이 어떻게 구했는지, 그리고 숫자 이름에 황금이 들어간 ‘황금비’에 대한 이야기는 무리수에 대한 이해를 더욱 심화시켜줄 것이다.
아무쪼록 이 책을 통해 무리수와 유리수를 포함한 실수라는 수 체계의 완성이 이루어질 수 있기를 기대한다.